Números Complexes:

 

Els números reals no permeten la solució de certs problemes físics com la mecànica quàntica, o circuits de corrent alterna. Per aquesta raó és van introduir els números complexos, inicialment considerats un artifici matemàtic, posteriorment s’ha vist que l’estructura matemàtica d’aquest números reflectien comportaments físics.

 

Els números complexos sorgeixen de la necessitat de treballar amb equacions com:

 

X2 + 1 =0 →   X = √-1

 

Però treballar amb √-1 no és una forma de senzilla de treballar, igual que √-144. els números complexos ens permeten treballar d’una forma senzilla amb aquestes expressions, i el principi bàsic de treball és dir que √-1 = i (en electricitat la lletra i es canvia usualment per j, per no confondre amb la i d’intensitat).

 

√-144 = √(-1) x √ (-144) = 14i

 

De les igualtats anteriors:

 

Designarem i el número que elevat el quadrat és -1.

 

i2 = -1

 

Anomenarem aquest nombre unitat imaginari: i

Les propietats dels números complexes, tenen les propietats commutativa, associativa i distributiva.

 

Commutativa: 2i + 3i = 3 i + 2i

Associativa: (2i + 3i) + 4i = 2i + (3i + 4i)

Distributiva: 2i * (3i + 4i) = 2i * 3i + 2i * 4i

 

Podem fer la següent operació:

 

X = 2i * (3+ 4i) = 6i + 8i2 = 6i + 8 * -1 = -8 + 6i

 

D’aquesta operació tenim un part real (Re) el 8 i una part imaginària 6 (Im), aquesta part real e imaginària la podem representar en l’eix de les abscisses els números reals purs i en l’eix de les ordenades els imaginaris purs.

 

A partir de la part imaginària i la par real tenim varies eines de treball com són el mòdul, l’argument i el conjugat.

 

Z = a + bi   →   a = part real, b = part imaginària i Z nombre complex

 

És una forma bionòmica de representar els números complexos, on Re (Z) = a i Im (Z) = b.

Les operacions del conjunt de números complexos serien:

Suma

Z1 = a + bi

Z2 = c + di

 

Z1 + Z2 = a +c + (b +d)i

La suma té element neutre que és el “0” i element oposat o simètric.

Si Z = a + bi l’element oposat o invers és Z = -a – bi

Producte

 

Z1 x Z2 = (a + bi) x (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 = ac – bd + (ad + bc)i

 

El producte té element neutre que és el “1” i element simètric o de l’invers.

Si Z = a + bi és diferent de zero existeix un Z’ dins el conjunt dels complexos que Z x Z’ = 1, o Z’ és l’invers de Z.

 

Conjugat: Z = a + bi el seu conjugat és Z = a – bi

 

El mòdul és la distància entre el punt d’origen o partida fins el punt de final del planell, essent aquest un valor absolut. El mòdul d’un número complex Z ve donat per la següent expressió:

 

|Z| = √ a2 + b2
Aquesta formula no deixa de ser una representació del número de Pitàgores on a és la distància de les abscisses i b és la distància en l’eix de les ordenades.

La relació entre les operacions i com conjuguem un complex i el mòdul:

 

|Z1 x Z2| = |Z| x |Z|

 

|Z1 + Z2| ≠ |Z| + |Z|

 

L’argument és l’angle que tenim entre el mòdul i les abscisses (part real del número complexa).

 

ρ = Arg Z = arc Tang (b/a)

 

Aquest angle se li hauran de sumar π i 180° depenent de si volem treballar en radiants o graus.

 

Mitjançant la formula o relació d’Euler, podem recuperar la formula original del nostre número complex.

eix = cos χ + i sin χ